應用數學與交叉科學研究中心于2024年4月1日進行大組會，全體成員和各位導師共同參加。本次組會由萬立老師主持，王文燦老師、1名研二學生和1名研三學生分别彙報自己的研究進展，最後老師與同學們對彙報内容進行學術探讨，并對存在的問題給出相應的指導和建議。

王文燦：本次彙報的是彙報的題目是《平均場倒向随機系統的不定号線性二次控制》我們考慮了平均場倒向随機系統的不定LQ控制問題.借助變分法和完全平方法，得到了最優控制的充分和必要條件，此時相應的随機Hamiltonian系統是初始端耦合的平均場FBSDE.在成本泛函一緻凸假設下，給出了最優控制的反饋表示.我們首先建立了一緻凸條件下平均場BSDE的LQ控制問題與正向平均場LQ控制問題之間的關系.借助這一關系，得到了兩個耦合的Riccati方程解的存在唯一性.基于此，通過伴随方程、Riccati方程和一個不受控的平均場BSDE建立了最優控制和最優成本的明确表達式.從理論結果可以看出，在成本泛函一緻凸假設下，控制變量的權重矩陣是一緻正定的，這與正向随機系統的LQ控制問題有着本質的區别.另一方面，由于成本泛函的一緻凸條件難以驗證，我們建立了Riccati方程可解性與成本泛函一緻凸性之間的等價關系。

餘榮春：本次彙報了考慮一個經典粒子與克萊因-戈登場耦合的無碰撞系綜。對于由此産生的非線性偏微分方程組，即相對論性Vlasov-Klein-Gordon系統，證明了經典解的局域時間存在性，并證明了隻有當粒子動量變大時解才會爆炸的延續準則。還證明了在一維情況下經典解在時間上是全局的。并且還研究了初始數據小擾動下相對論性Vlasov-Maxwell系統經典解的行為。首先，證明了解連續地依賴于各種範數的初始數據。主要結果是關于全局解的:一個電磁場以某種方式長時間衰減的全局解在初始數據的小擾動下保持全局，并保持場的衰減行為。因此，這樣的全局解決方案是通用的。

翟利凱：彙報的題目是《Asymptotic behavior of a class of stochastic partial differential equations driven by Non-Gaussian》Lévy過程是一類重要的具有獨立平穩增量的非高斯過程, 其樣本路徑随機連續并逐點右連續左極限, 且在有限時間内至多有可數個跳越點。特别地，穩定Lévy過程可視為高斯過程Brownian運動的推廣。本文研究當時，由穩定的Lévy過程驅動的随機偏微分方程的解的收斂行為，利用Lévy過程的一些性質和定理，結合必要的假設條件，在的極限情形下進行了詳盡的探讨。研究方法主要基于Aldous準則，成功地證明在适當的條件下概率測度族的胎緊性，從而保證了由穩定Lévy過程驅動的随機偏微分方程的解在弱意義下收斂于由Wiener過程驅動的随機發展方程的解，且這一收斂現象在Hilbert空間中得以确立。這一研究為深入理解在在無窮維空間中非高斯噪聲中驅動的随機偏微分方程的理論發展帶來積極意義，并在數學領域中具有廣泛的應用潛力。

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